Статьи

Основы теории вероятностей для геймдизайнеров. Часть 2

Возвращаемся в мир теории вероятностей

В прошлой части мы остановились на теме совместных и несовместных событий. Пожалуй, разберем еще несколько типов и перейдем к кое-чему очень интересному!

Равновероятные события

Шанс события легко вычислить, когда все возможные результаты происходят с одинаковой вероятностью. Например, орел и решка – 50%; каждое число на d6 – 1/6. Но некоторые события не так просты. При 2d6 вероятность выпадения в сумме 2 намного ниже, чем вероятность выпадения 7. Это потому, что существует гораздо больше способов выбросить 7, чем 2.

Чтобы получить лучшее представление о шансах, иногда бывает полезно разбить результаты на более крупные списки равновероятных результатов.

Упражнение: разбойник в колонизаторах 

Как часто ходит разбойник? В начале каждого хода в колонизаторах активный игрок бросает 2d6, чтобы определить, какие регионы производят ресурсы. При выпадении 7 нет производства, и вместо этого ходит разбойник. Итак, основной вопрос: каковы шансы выпадения 7 на 2d6?

Как мы уже знаем, есть 36 возможных исходов для 2d6. Из этих бросков шесть в сумме дают 7: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2) и (6,1). Таким образом, вероятность выпадения 7 на 2d6 равен 6/36 или 1/6. Это означает, что разбойник будет двигаться в среднем каждые шесть ходов.

Независимые события

События являются «независимыми», если результат одного не влияет на результат другого. На шанс выкинуть решку не влияют предыдущие броски (или погода, звезды или то, насколько сильно вам нужно выкинуть решку).

Однако в некоторых ситуациях на вероятность конкретного случайного события могут повлиять результаты предыдущих событий. Это происходит, когда рандомизатор изменяется событиями, лучшим примером которых является извлечение карт из колоды. Этот тип игры может создавать статистически зависимые события.

Например, если вы берете две карты из покерной колоды, каковы шансы того, что вторая карта окажется тузом? (Сравните это с задачей «взять хотя бы одну 10» выше). В этом случае вероятность того, что первая карта окажется тузом, проста – 4/52. Однако шансы на получение второй карты зависят от результата первой.

Если ваша первая карта – туз, вероятность того, что вторая карта окажется тузом, составляет 3/51. В колоде из 51 карты остается только три туза. Если ваша первая карта не является тузом, вероятность того, что вторая карта будет – 4/51.

Чтобы найти вероятность на получение хотя бы одного туза из первых двух карт, мы можем рассмотреть оба случая и определить шансы каждого из них, а затем сложить эти вероятности для окончательного ответа. 

В случае 1, где первая карта – туз, нас не волнует вторая карта, потому что мы уже добились успеха. На этот результат приходится 4/52 игр, или около 7,7%. 

В случае 2 первая карта – не туз, поэтому мы выигрываем, только если вторая карта – туз. Вероятность на то, что первая карта не является тузом, составляют 48/52 (~92,3%). С этого момента вероятность на получение туза составляют 4/51 (~7,8%).

Чтобы найти шансы на успех на обоих этапах этого пути, мы перемножаем два шанса: 92,3% * 7,8% = ~7,2%.

Поскольку случаи 1 и 2 являются несовместными (они начинаются с взаимоисключающих шагов «вытяните туза» и «вытяните не туз»), мы можем сложить эти шансы вместе для окончательного результата: 7,2% + 7,7% = 14,9% .

Как мы описали с “хотя бы одну 10”, гораздо более простым решением было бы найти вероятность того, что вы не получите туза, и вычтите из 1. Вероятность на то, что вы не получите туза, составляет 48/52 для первой карты и 47/51 для второй. Перемножаем и получаем – 85,1%. Вычитание из 100% дает тот же результат 14,9%.

Математическое ожидание

Мат. ожидание бывает крайне полезно, когда нам необходимо посчитать условное среднее ожидание от эксперимента. Если для каждого события известна его вероятность, то мат. ожидание будет равно сумме произведений каждого исхода на его вероятность:

n∑i=1 xi⋅pi

Воспользуемся формулой выше, чтобы посчитать мат. ожидание d6:

1 * 1/ 6 + 2 * 1/6 + … + 6 * 1/6 = 1/6 * ( 1+2+3+4+5+6) = 3,5

Посчитать было довольно легко, так как события равновероятные.

Существует большая категория игр, в которых математическое ожидание чрезвычайно важно: казино.

Пример: простое казино

Мы играем в игру, в которой вы бросаете d6 и получаете столько $, сколько очков выпало. Мат. ожидание этой игры составит $3,50. Я был бы дураком, если бы играл с вами в эту игру по таким правилам, поэтому вы будете платить $4 за игру. Теперь каждая игра имеет для вас мат. ожидание в -$0,50. Так-то лучше

Для честной игры я могу взять с вас $7 за два кубика. Мат. ожидание 2d6 равно 2 * 3,5, или 7, поэтому при стоимости $7 общая ожидаемая ценность этой игры для нас обоих равна нулю.

Заблуждение игрока

Одно хорошо известное заблуждение относительно случайных событий состоит в том, что их результаты имеют тенденцию «выравниваться» со временем. Например, после нескольких результатов «орёл» вероятность «решки» возрастает. Если события статистически независимы, например, подбрасывание монеты, это не так.

И даже если вы не попадаете на это, вы все равно можете приписать идею добавления в игру большего количества случайных событий, чтобы противодействовать несправедливым эффектам предыдущих случайных событий. Это своего рода «функция возвращения», призванная дать надежду игрокам, которые рано отстают. Однако это средство обычно не работает. Конечно, поможет больше решений, но не больше случайных событий. Вот почему лучшие чисто случайные игры очень короткие.

Упражнение: “я в ударе”

Я уже пять раз бросил d6, и каждый раз выпадала «6». Есть ли вероятность того, что в следующем броске выпадет 6? Шестерка «разогревается» и, следовательно, у меня больше шансов получить ещё одну, или я «израсходовал их все»?

Ни то, ни другое. Игра в кости работает не так. Шансы выпадения 6 не меняются в зависимости от прошлой истории. Сравните это с колодой карт, где предыдущие розыгрыши повлияют на то, что осталось в колоде. Заблуждение игрока – это в некотором смысле представление о том, что игральные кости ведут себя как карты.

Выражение шансов, как соотношения

Вероятность часто записывают, как X:Y, например 3:1 (произносится как 3 к 1). Это означает, что событие произойдет 3 раза за каждый раз, когда не произошло. (Это отличается от ставки 3:1, которая означает, что вам будут выплачены 3 ваши ставки, плюс ваша ставка будет возвращена, при выигрышной ставке 1. Выплаты в азартных играх мало что говорят об их истинных шансах).

Вот простой пример. Игроки тянутся за старшей карту, но некоторые игроки могут взять больше карт, чем другие. В игре на двоих, когда первый игрок тянет 2 карты, а второй игрок – 5 карт, шансы на победу игрока 1 составляют 2:5. (А коэффициент игрока 2 противоположный – 5:2).

Чтобы преобразовать эти выражения в проценты, вам придется немного подумать. 2:5 – это не то же самое, что 2/5. Вероятность 2/5 означает, что игрок выигрывает 2 раза за каждые 5 игр. Но вероятность 2:5 означает, что игрок выигрывает 2 игры на каждые 5 проигрышей. Разница в общем количестве сыгранных игр. В случае 2:5 фактически всего 7 игр (2 победы и 5 поражений), поэтому шансы игрока 1 на самом деле равны 2/7.

Достаточно простое преобразование. Просто сложите обе стороны выражения, и вы получите общее количество игр. Затем разделите количество побед на это общее количество.

Часто шансы в этом формате записываются как «против», а не «за» победу. Например, если шансы 1:4 (20%), они также могут быть указаны как 4: 1 против. Это означает, что вероятность проигрыша составляет 4:1 или 80%.

Упражнение: выразите шанс выпадения 7 на 2D6 в формате X:Y

Есть 6 способов получить 7 из 36 роллов. Это означает, что есть 30 способов не выбросить 7. Таким образом, шансы равны 6:30, или 1:5.

Заключение

Как правило, игры слишком сложны, чтобы их можно было полностью проанализировать или решить. Для сравнения: таблица базовой стратегии для блэкджека имеет примерно 500 точек принятия решения и расширяется в десять раз для любого, кто использует базовую технику подсчета карт. Если вы знаете точное содержимое колоды, таблица будет еще более сложной, а блэкджек – довольно короткая и простая игра. Идеальная таблица стратегии для Settlers of Catan выглядела бы как энциклопедия.

Но даже если о полном анализе вашего игрового дизайна не может быть и речи, вы все равно можете использовать элементы теории вероятностей для анализа сегментов вашей игры и тем самым лучше понять, какие события вероятны, маловероятны и невозможны.

Мы склонны использовать экспериментальные и анекдотические данные, чтобы решить, работают ли случайные события или нет. Вы можете протестировать свою игру только ограниченное количество раз, но многие из случайных возможностей могут быть чрезвычайно редкими. Практический анализ случайных событий поможет вам лучше понять, была ли ваша последняя катастрофа, связанная с броском костей, случайностью или серьезной проблемой.

Базовое понимание вероятности игроками обычно довольно хорошее, хотя у них не всегда есть инструменты для анализа. Поэтому дизайнеру важно объяснить случайность как можно яснее, чтобы опыт игроков соответствовал их ожиданиям. Если какое-то случайное испытание кажется легким, но действительно сложным или невозможным, игра будет разочаровывать. Верно и обратное: очевидные дальние удары, которые всегда получаются, тоже не доставляют удовольствия.

Плохо для игры, если случайные элементы скрыты, слишком сложны или плохо объяснены. Удовольствие приходит от сбалансированного количества неожиданных и явных моментов. Слишком много сюрпризов, и игрок может расстроиться. Слишком много понимания, и игрок может заскучать.

Это означает, что игрокам лучше думать с точки зрения выявления рисков и управления ими, чем быть просто случайным. Поэтому решения должны быть реальными и понятными. Но это тема для другой статьи.

Правила вероятности, которые должен знать каждый геймдизайнер

Джесси Шелл в книге линз сформировал прекрасные, на мой взгляд, правила, которые отлично подходят для обобщения статьи:

  1. Дроби и проценты (½ = 0.5 = 50%)
  2. От нуля до единицы – вот и всё!  (или от 0% до 100%)
  3. “Искомые значения” / “возможные результаты”
  4. Перечисляйте все возможные результаты!
  5. В некоторых случаях “или” означает сложение (вытащить короля или королеву)
  6. В некоторых случаях “и” означает умножение  (вытащить короля и королеву)
  7. 1 – “да” = “нет”
  8. Складывайте и умножайте осознанно (Например, вероятность получить 7 на 2d6 не будет равняться просто сумме 3 и 4 на d6, думайте!)
  9. Бросайте кости не только в голове, но и на столе!
  10. Закон Гомбо – найдите себе карманного математика

Спасибо за внимание!

Надеюсь, что вам пригодятся знания из этой статьи.

Никита Красов, спасибо за вдохновение! И спасибо прекрасным @Tramdrey и shabbyrtist за иллюстрации.

Источник:


Мы принципиально не размещаем рекламу на наших страницах, чтобы она не мозолила вам глаза, и существуем только за счет поддержки читателей и членов сообщества. Если вам нравится то, что мы делаем, и вы считаете это важным, поддержите нас так, как вам удобно:

Стать патроном на Patreon
Стать доном в ВК
VK Pay

Лев Кобелев

Сегодня ровно полгода, как я завтра допишу диздок.

Один комментарий

Добавить комментарий